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Escrito en Matemáticas 1.

Ecuaciones simultaneas de tres por tres con solución o sin solución – Matemáticas 1

Partiendo del método de sustitución, se puede simplificar un sistema de tres ecuaciones y convertirlo en un sistema de (2 x 2). Tenemos el siguiente ejemplo de este sistema:

Ecuaciones simultaneas de tres por tres con solución o sin solución

Para poder resolver este sistema, primero debemos de elegir la ecuación y la variable más sencillas y posteriormente despejamos la incógnita “x”.

Ecuaciones simultaneas de tres por tres con solución o sin solución 1

Ahora sustituimos el valor de “x” en las otras dos ecuaciones

Ecuaciones simultaneas de tres por tres con solución o sin solución 2

Estas ecuaciones forman un sistema de (2 x 2) que se puede resolver por cualquiera de los métodos.

Hagámonos la siguiente pregunta:

¿Es posible hallar los valores de las variables que satisfagan el sistema?

Cuando el sistema es:

Ecuaciones simultaneas de tres por tres con solución o sin solución 3

Para esto emplearemos un método conocido como determinantes para resolver este sistema. Un determinante es un arreglo de números que, generalmente se desprende de un sistema de ecuaciones que se quiere resolver. Este sistema permite definir varios determinantes, el del sistema Δ y los de cada una de las incógnitas:

Ecuaciones simultaneas de tres por tres con solución o sin solución 4

El determinante del sistema está constituido por los coeficientes asociados a cada incógnita, mientras que para los determinantes de cada incógnita se necesita sustituir los coeficientes del determinante del sistema por los términos constantes, es decir:

Ecuaciones simultaneas de tres por tres con solución o sin solución 5

 Vamos a ver como se realiza el cálculo de estos determinantes, primero debemos encontrar el valor del determinante del sistema (Δ), dado el determinante, le podemos agregar valores de las dos primeras columnas en la cuarte y quinta columna del determinante. En total contaremos con cinco columnas, siempre tenemos que hacer la multiplicación diagonalmente.

Los productos van a adquirir un valor negativo si van de la zona inferior izquierda a la zona superior derecha, y si se dirigen de la zona superior izquierda a la zona superior derecha serán positivos.

Ecuaciones simultaneas de tres por tres con solución o sin solución 6

Para encontrar Δx1 se debe de sustituir la primera y la cuarta columna por las variables d1, d2, d3

Ecuaciones simultaneas de tres por tres con solución o sin solución 7

Para encontrar Δx2 se debe de sustituir la segunda y la quinta columna por las variables d1, d2, d

Ecuaciones simultaneas de tres por tres con solución o sin solución 8

Para encontrar Δx3 debemos sustituir la tercera columna por las variables d1, d2, d3

Ecuaciones simultaneas de tres por tres con solución o sin solución 9

Para finalizar, la solución al sistema está dada por las siguientes relaciones:

Ecuaciones simultaneas de tres por tres con solución o sin solución 10

Vamos a ver el siguiente ejemplo, en el cual vamos a determinar el siguiente sistema de ecuaciones, con las variables x1, x2, y x3 las cuales adquieren la forma x, y, z.

Ecuaciones simultaneas de tres por tres con solución o sin solución ejemplo

Hagamos el arreglo de los coeficientes para determinar los valores Δ, Δx, Δy, Δz, tenemos como primer paso en definir Δ

Ecuaciones simultaneas de tres por tres con solución o sin solución ejemplo 1

Ahora vamos a calcular Δx

Ecuaciones simultaneas de tres por tres con solución o sin solución ejemplo 2

Ahora calculemos el discriminante Δy

Ecuaciones simultaneas de tres por tres con solución o sin solución ejemplo 3

Por ultimo vamos a obtener Δz

Ecuaciones simultaneas de tres por tres con solución o sin solución ejemplo 4

Con esto obtenemos las definiciones necesarias para conocer los valores de x, y, z.

Ecuaciones simultaneas de tres por tres con solución o sin solución ejemplo 5

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