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Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2

Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito en Matemáticas 2

Existe una  incógnita, la cual nos cuestiona que se esté teorema solo es válido para ángulos  inscritos y centrales, o también lo es para un ángulo semi-inscrito y su correspondiente ángulo central, para esto es necesario observar la sucesión de imágenes siguiente:Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 0

Se puede observar que el ángulo semi-inscrito siempre es menor que 90°, exactamente, este ángulo es la mitad del ángulo central que abraca el mismo arco de circunferencia

Esta demostración se dividirá en dos casos:

Caso 1

-El ángulo semi-inscrito es agudoTeorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 1

Hipótesis

T es una recta tangente a la circunferencia en el punto P, y Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 2  es una recta secante de esta circunferencia

Tenemos que:Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 3

Tesis

Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 4

1.- Trazamos el diámetro Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 5 que corta a la circunferencia en el punto R

2.- Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 6, forman un ángulo llano

3.- Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 7, o sea, forman producto de la igualdad anterior

4.- Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 8, por el teorema

5.- Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 9 , pues Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 5 es un diámetro perpendicular a la recta T en el punto P

6.- Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 11, multiplicamos por 2 la igualdad anterior

7.- Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 12, producto de las igualdades anteriores

8.- Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 13, al despejar Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 14

Caso 2

El ángulo semi-inscrito es obtuso

El resultado que se utilizara es la relación del ángulo inscrito con su correspondiente ángulo central, solo que, para este caso, estos ángulos serán especiales: 90° y 180°

Primero, se justifica la construcción de las rectas tangentes a la circunferencia que pasan por un punto exteriorTeorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 15

Es importante conocer lo que se debe mostrar para afirmar que las rectas construidas son tangentes a las circunferencias, los argumentos son:

1.- Se trazan los segmentos Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 16 y Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 17

2.- Se observa que Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 18  subtiende el angulo central Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 19, que es igual a 180°

3.- Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 18 es la mitad de Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 19, por el teorema del ángulo central e inscrito

4.- Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 22, es un ángulo recto

La recta T es tangente al círculo propuesto, se establece un argumento similar para la recta tangente T´

Ahora es importante justificar la construcción delas tangentes exteriores a dos circunferencias dadas. Los pasos para ello se pueden ver realizados en la siguiente figura:Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 23Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 24

5.- Por el teorema del ángulo central e inscrito, se tiene que este paralelogramo tiene un ángulo recto M, ya que Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 25  subtiende al angulo central Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 26, que vale 180°

6.- Si Teorema del ángulo central y el ángulo semi-inscrito – Matemáticas 2 27, entonces el paralelogramo es un rectángulo, lo que implica que M´M´´ es perpendicular a los radios de las circunferencias dadas y, por lo tanto, tangente a ellas, algo similar para en el argumento que se establece para la recta tangente T´

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