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El Proceso para determinar el cambio en Tangentes – Cálculo Diferencial

El Proceso para determinar el cambio en Tangentes en el Calculo Diferencial si tenemos una curva que tiene por ecuación y=f(x) y queremos hallar la tangente en un punto dado P(a,f(a)) debemos considerar otro punto cualquiera de la curva Q(x,f(x)) y calcular la pendiente de la recta secante PQ.

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Realizamos quex tienda hacia a para que Q se aproxime a P a lo largo de la curva. Cuando esto ocurre, entonces la pendiente mPQ de la recta secante tiende a la pendiente de la recta tangente como limite y definimos la recta que pasa por P con pendiente m como:

Recta que pasa por el punto P(a,f(a)) de la curva y=f(x) y cuya pendiente es el limite:

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Si acercamos en el punto de la tangencial del puntoP de una curva con la recta que pasa por él lo que vemos es que en esta posición es donde la curva se parece más a la recta.

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Una forma mas fácil y amigable de expresar la pendiente de la recta tangente a una curva es hacer las siguientes transformaciones.

1.-En la ecuación de la recta tangente a la parábola y=2-x2 en el Punto P(1,1). Tenemos que a=1 y f(x)=2-x 2 asi que la pendiente de la recta tangente es:

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2.-En la pendiente m=-2 y el punto de la curva P(1,1) podemos encontrar la ecuación de la recta tangente es decir:

y-1= -2(x-1)
y-1= -2x+2

Simplificando e igualando a cero nos queda:

2x+y-3=0

En la siguiente imagen se muestra la parábola y su tangente enP(1,1):

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3.-Si f(x)= 1/x2 así que la pendiente de la recta tangente P(2,1/4) es:

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En la pendiente m=-1/4 el punto de la curva P(2,1/2) podemos encontrar la recta tangente por lo tanto:

y-1/4= -1/4(x-2)

Multiplicando por 4 tenemos:

4y-1=-(x-2)

Simplificando e igualando a cero nos queda:

x+4y-3=0

En la siguiente imagen apreciamos la gráfica muestra la curva su tangente en P(2,1/4):

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