Ejemplos de la Producción, Máximos y Mínimos en Cálculo Diferencial,primer problema como ejemplo:

1.-Un terreno que mide 100 metros de perímetro y desea expresar su área A como función de la base x para calcula la medida de la base y de la altura que nos da la figura de mayor superficie.

Vamos a escoger tres posible rectángulos cuyo perímetro es de 100 metros para tener idea que ocurre en el problema, las dimensiones que se obtiene.

Al conocer las medidas del rectángulo vemos las variables en cuestión:

El perímetro del rectángulo es de:

2x+2y=100
xý=50 Dividiendo entre 2
y=50-x Despejando y.

El área del rectángulo de base x y altura es [A=xy]
Al sustituir el valor de y tenemos [A=x(50-x)]
Tenemos el Área A en función de x de tal modo que [A=50.x2]
En la ecuación anterior derivamos A con respecto a x: dA/dx=50-2x

Cuando una función tiene un máximo o un mínimo su pendiente es horizontal y como consecuencia es igual a 0. Por lo tanto:

50-2x=0
x=50/2=25 resolviendo para x
Entonces y=50-x=50-25=25

Significa que tanto la base como la altura del rectángulo deben medir 25 cm para obtener la mayor área.

2.-Encontrando 2 números positivos de tal manera que la suma del doble de uno más el otro sea mínimo si el producto de dichos numeros es 18.

Si [x] un número y el otro, deseado que sea mínimo es:

S=2x+y

Donde [xy=18] por lo tanto [y=18/x] como la suma [S] es la que deseamos minimizar, para sustituir en la ecuación,

Por lo tanto: y=18/x=18/3=6 en la Representación Gráfica:

Los números buscados son el 3 y el 6 por que de todos los números cuyo producto es 18 son los únicos que dan la suma minina.

2(3)+6=12

3.- AL diseñar una lata cilíndrica de 373 ml de capacidad.¿Cuáles son las dimensiones que minimizan el costo del material para su fabricación?

En la fabricación de la lata se requiere de dos componentes: dos tapas circulares de radio r y un rectángulo cuya base es el perímetro del círculo y altura h.

Al minimizar el costo es necesario minimizar el área superficial total del cilindro la cual es: A= 2π rh+2π r²

Como se conoce el volumen 372 cm³ (1ml = 1cm³), podemos despejar h de la ecuación anterior obteniendo que:

πr²h=375, entonces h=375/π r²

Por tanto la ecuación del área total superficial que deseamos minimizarlo en la siguiente imagen se aprecia:

Este resultado indica que para minimizar el costo de la lata, el radio r=3.90 cm, es prácticamente la mitad de la altura: h= 7.82 cm

4.-En un cilindro inscrito en una esfera de radio R=3. Encuentra las dimensiones del cilindro de volumen máximo que se puede inscribir.

Dado que r es el radio del cilindro h su altura el Volumen máximo es:
V= r2h

Recordando el teorema de Pitágoras a partir del cilindro inscrito en una esfera de radio R=3 en la siguiente imagen